Category Archives: Историја математике

Ератостеново сито

Standard

Ератостеново сито представља поступак којим се издвајају прости бројеви мањи од неког задатог броја. Да се подсетимо

ПРОСТИ БРОЈЕВИ су бројеви који се могу поделити само јединицом и самим собом.

Ево како можемо да одредимо све просте бројеве мање од 120 користећи Ератостеново сито.

  1. Напишемо на папир бројеве од 2 до 120.

  2. Двојка је прост број. Прецртамо све парне бројеве.

  3. Следећи број на списку је тројка. Обележимо и њу да је проста. Са списка прецртавамо 9,15,21,27,…

  4. Следећи број на списку је петица. И то је прост број. Са списка прецртавамо 25,35,55,65,85,95,115…

  5. Следећа нам је на списку седмица. У списку простих бројева имамо за сада 2,3,5 и 7. Прецртавамо са списка 49, 77, 91 и 119. Напомена: 56, 63, 70, 84, 98, 105 и 112 су већ раније прецртани.

  6. Следећи број је 11. Како је 11×11 > 120 то обележавамо да су сви преостали бројеви прости.То су 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, …

eee

Архимед

Standard
Архимед ( 287. - 212. г.п.н.е.

Архимед ( 287. – 212. г.п.н.е.

Архимед је најпознатији научник старе Грчке. Бавио се математиком и физиком, али му дугујемо и многе техничке проналаске. Изумео је више простих машина: бескрајни завртањ, зупчаник, открио је тежиште, закон полуге…

Полугом је могао да покрене тешке терете са врло мало напора. Покренувши цео брод помоћу једне полуге, он је рекао: “ Ако ми дате довољно дугачку полугу и тачку на коју треба да је ослоним, могу чак и саму Земљу да покренем“.

2013-04-08_1835

Архимед је открио и дефинисао закон о специфичној тежини покушавајући једном приликом да утврди је ли круна направљена за једног краља заисата од чистог злата. Архимед је добио задатак да открије да ли су златари преварили краља Хијерона и заменили део злата сребром. Према причи, Архимед је дуго размишљао, али без резултата све док случајно није приметио да када уђе у пуну каду истисне количину воде и осети умањење тежине. Схватио је да су те две ствари повезане и сав одушевљен го истрчао на улицу вичући „ЕУРЕКА! ЕУРЕКА!“ (ПРОНАШАО САМ! ПРОНАШАО САМ!“). Од тих дана је ова реч позната као усклик одушевљења због проналаска и као архетип изгубљеног научника, а овакву причу је описао римски архитекта Витрувијус у свом спису Десет књига о архитектури (Decem libri de architectura).


Архимедов закон гласи: на свако тело потопљено у течност делује сила потиска која је једнака тежини телом истиснуте течности. Другим речима, тело потопљено у течност бива лакше за колико износи тежина истиснуте течности. Ово је основни закон хидростатике (и аеростатике). 

Овај принцип је разлог зашто чамци пливају и ваздушни балони лете.

image

Као математичар, он је проучавао круг, пронашао формуле за обим и површину круга, за кубатуру лопте… Кад су његову родну Сиракузу после опсаде заузели Римљани, један војник је упао у Архимедову кућу. Занет у проучавање неких кругова које је био нацртао на поду, стари Архимед је узвикнуо: “ Не гази моје кругове!“ На то га је војник усмртио копљем.

Еуклид

Standard
Еуклид ( 306 - 283. год. п.н.е.)

Еуклид ( 306 – 283. год. п.н.е.)

Еуклид је грчки математичар који је написао чувено дело Елементи. Укупно је написао 13 књига о геометрији. У њима је почео једноставним тврђењима ( тзв. аксиоме), као што је: “ Постоји једна и само једна права која пролази кроз две тачке“, и из тих аксиома изградио је све своје геометријске теореме.
Његове књиге постале су најзначајније дело за проучавање геометрије и користиле су се у целом свету.

image

За Еуклида математика је била значајна као предмет проучавања, а не начин да њом зарађује свој хлеб. прича се како га је једном, док је држао предавање о геометрији неком краљу, овај упитао: “ Зар нема неког лакшег начина да схватим геометрију?“ Еуклид је одговорио: „Нема краљевског пута до геометрије“. Свако мора сам да размишљакад нешто проучава.

Талес

Standard
Талес из Милета (624 - 546. год. п. н. е.)

Талес из Милета (624 – 546. год. п. н. е.)

Талес из Милета је филозоф који је веровао да је све постало од воде. У његово време филозофи су се бавили  математиком, астрономијом, физиком и другим наукама. Родио се у Грчкој, али је отишао у Египат на науке. Он је одредио висину пирамиде користећи се сличношћу троуглова, пронашао магнет, а предсказао је и датум помрачења Сунца. Понекад га називају оцем математике и астрономије. Једне ноћи, ходајући загледан у звезде, упао је у јарак. Нека стара слушкиња која је то видела рекла му је : “ Господару, ако ти не видиш чак ни куда ходаш, како можеш видети звезде и о њима шта рећи?“

image

О Талесу има много сличних анегдота. Приписује му се изрека: “ Познај самога себе.“

Златни пресек

Standard

Проблем: Подели дуж AB тачком P тако да се већи део према мањем односи исто као цела дуж AB према већем делу.

Нека тачка P дели дуж тако да је АP већи, а PB мањи део.

Ми у ствари желимо да буде

AP : PB = AB : AP.

presek

Нека део АP има дужину r, а део PB дужину s.

Сада, користећи осбине пропорционалних дужи имамо да је

zlatni

Овај број би био обичан ирационалан број са приближном вредношћу,

brojмеђутим, још су антички математичари схватили да постоји нешто божанско у овом односу и почели су га интензивно користити приликом грађења својих грађевина. Тако се, на пример, у чувеном Партенону често среће управо овај, златни однос.

gold08 - Copy

Ево како изгледа правоугаоник подељен златним пресеком

golden-rectangle - Copy

Ова спирална линија позната је као Фибоначијева спирала и може се срести свуда око нас.

Ево неких грађевина и примера из уметности и природе код којих је уочено присуство златног пресека

Raj-Mahal-India-The-Golden-Ratio - Copy   The-Great-Pyramid-of-Giza-Golden-Ratio - Copy  Mona Lisa

golden-spiral-applied-photography-21 - Copy   golden-spiral-applied-photography-3 - Copy  nautilus_withoverlay - Copy  Irene and the Golden Ratio - Copy   last-supper-phi-golden-ratio - Copy

Како поделити дуж златним пресеком

  1. Нека је дата дуж AB. Најпре конструиши нормалу BC у тачки B чија је дужина једнака половини дужи AB. Нацртај хипотенузу AC;

  2. Нацртај кружницу са центром у тачки C и са полупречником BC. Кружница ће пресећи хипотенузу  AC у тачки D;

  3. Нацртај кружницу са центром у тачки А и полупречником AD. Ова кружница ће пресећи дуж AB у тачки S. Тачка S ће поделити дуж AB на већи и мањи део који су у златном односу.

250px-Goldener_Schnitt_Konstr_beliebt.svg - Copy

 Погледајте занимљив филм о златном пресеку

Они који су више заинтересовани за ову тему могу погледати лекцију чувене Канове академије

Број Пи

Standard

Прочитах скоро да господин Пи има јако дуг, чак бесконачан реп. Ево кратке приче о овом господину са најпознатијим репом.

Пи је један од најпознатијих ирационалних бројева. Сећате се, ирационални бројеви су они који нису рационални, тј. не могу се написати у облику разломка. Ми их најчешће препознајемо баш по том бесконачном репу. И међу свима њима ПИ је најважнији, најзначајнији – како рекоше – господин.

Пи је заправо однос обима  и пречника круга.

Немогуће је утврди када је тачно човек приметио да се са повећањем круга однос обима и пречника не мења. Претпоставља се да је гледајући Сунце и Месец, посматрајући трагове кишних капи када падну у воду човек био фасциниран кругом.

Чак су и први домови и храмови били кружног облика. Када су открили квадрат, са равним ивицама и правим угловима,  људи су га везали за себе, за овоземаљско и своје домове су почели да граде користећи праве углове. Међутим однос између квадрата и круга било је нешто што је одувек интересовало наше паметне претке.

Један од најстаријих математичких проблема свакако је чувена КВАДРАТУРА КРУГА – како (помоћу шестара и лењира) конструисати  квадрат чија је површина једнака површини круга. Покушавајући да дођу до решења овог проблема математичари су долазили до других великих открића, а међу њима је свакако и број Пи .


Први писани документ у којем се помиње решавање проблема квадратуре круга је Рајндов папирус, пронађен 1650. година пре нове ере. Из решења које у папирусу нуди египатски математичар Ахмес открило се да је π=256/81=3,16049…

У трећем веку пре нове ере чувени Архимед из Сиракузе  (287. -212.г.п.н.е.), користећи идеју својих претходника Антифона и Брајтона из Хераклеје, долази до великог открића.
Архимед је око круга описивао и у круг уписивао правилне многоуглове, јер је схватио да ће обим круга бити између обима ових многоуглова. Пошао је од шестоугла, па га је удвостручио и тако радио до многоугла са 96 страница.

Наравно закључио је да, како се број страница повећава његов обим ће бити све ближи обиму круга.

Архимед је добио следећу оцену – π  је између 223/73 и 22/7.
Када израчунамо аритметичку средину ове две вредности добијамо број 3.14185, што је изузетно прецизна вредност броја π.

Архимедов начин познат је, иначе као “ метода исцрпљивања“ , а ако желите да је и сами истражите погледајте као она функционише у  Геогебри.

Многи су математичари покушавали да што прецизније одреде вредност овог броја. Међу њима свакако посебно место заузима Лудолф Ван Цојлен (1540 – 1610.) који је преко десет година рачунао да би добио двадесет тачних децимала. Касније је израчунао још петнаест децимала, а свој рад завршава речима “ а ко жели нека иде даље“. Број са 35 тачних децимала уклесан је на његовој надгробној плочи, а њему у част овај број се често зове и Лудолфов број.

1706. године, енглески писац Вилијем Џоунс је  први пут као ознаку броја Пи употребио слово грчког алфабета π. То је заправо почетно слово грчке речи  περιφέρεια – периферија како је славни Еуклид дефинисао кружницу.

Данас се уз помоћ компјутера добијају билијарде децимала броја Пи. Али опчињеност рачунања децимала овог броја и даље је присутна и сада се мери која ће машина за што краће време израчунати што већи број њих.


Још неке занимљивости о броју ПИ

Постоји цело поље шаљивог, али и озбиљног изучавања које укључује коришћење мнемоника за лакше памћење цифара и зове се пифилологија.

Када одредиш број слова у свакој речи следеће реченице добићеш број π.

Чак и Грци и стари Вавилонци су казали: обиме кад делиш круговим пречником добијаш неопходан нам Пи


3, 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2

***

Дан 14. март (3/14 према стандарду који важи у САД) је „Дан броја пи“ (енгл. Pi Day) који просавља велики број љубитеља овог броја. Дан апроксимације броја прославља се 22. јула (22/7 је популарна апроксимација).

Штавише, многи људи говоре и о „пи сатима“ (3:14:15 је мало мање од једног сата; 3:08:30 би било најближе броју сата после поднева или поноћи у целим секундама).

***

Да ли сте знали да међу цифрама броја Пи можете наћи било који коначни низ. На пример,  ваш број телефона, или ваш матични број, или датум вашег рођења. Ево интернет странице на којој можете да пронађете на ком се децималном месту броја Пи налази жељени низ бројева

***

Овако изгледа број Пи у бојама

***

А ево како звучи број Пи

На крају погледајте јако занимљиву презентацију ауторке Јелене Воларов , о томе како је из године у годину растао најпознатији реп на свету – реп господина ПИ, којим су били опчињени велики светки умови, а и о томе како он расте данас.

 
Аутор ППТ презентације је Јелена Воларов.

Математика и математичари у сликама

Standard
Diofant PitagoraVon NeumannPoenkareRimanOjler
ArhimedGausHipatijaGausBrahmaguptaBhaskara
Rene DekartOjlerovakruznicaortocentarupisanateziste

Како је Талес измерио висину пирамиде

Standard
Талес(624-547г.п.н.е.) оснивач тзв. Јонске школе, сматра се једним од првих старогрчких математичара и  философа. Био је родом из Милета, грчког града на малоазијској обали Средоземног мора (данашња Турска). У  младости се бавио трговином, те су се његовој кући састајали трговци, али и људи који су се интересовали за  науку. Од њих је сазнао многе чињенице из астрономије и математике. Много пажње је посвећивао геометрији и  према писању Прокла(410-385г.п.н.е.) припадају му следећа открића у геометрији:
1.Унакрсни углови у пресеку двеју правих су једнаки
2.Углови на основици једнакокраког троугла су једнаки
3.Троугао је потпуно одређен једном страницом и угловима налеглим на ту страницу. На основу тога је  израчунао удаљеност лађе од обале у александријској луци
4.Круг је пречником преполовљен
5.Периферијски угао над полукругом је прав.
Evo како је измерио висину Кеопсове пирамиде:
(Оригинал из књиге: „Small History of Mathematics by Pithagoras to Hilbert“, 1949, Egmont Colerus)

….И тако он стоји у песку подно велике пирамиде. Један од свештеника га смешећи запита , колико је висока пирамида.Талес мало размишља па одговори да он неће висину ценити од ока, него ће је измерити и то без  неког нарочитог прибора. Затим је легао у песак и одмерио своју дужину тела. -„Шта ли то смера?“-питају свештеници, a он већ одговара: – „Једноставно, стаћу на један крај ове измерене  дужине свог тела и чекаћу док моја сенка не буде тачно онолико дуга колико је и дужина мог тела. У истом  тренутку мораће и дужина сенке пирамиде бити онолико корака колико је пирамида висока“.
И док је свештеник изненађен једноставношћу решења још размишљао…Талес наставља: – „А ако хоћете да измерим ову висину у било које доба дана ,тада ћу забости овај штап у песак… и ако његова сенка напр. износи половину дужине штапа тада ће морати и сенка пирамиде да буде тачно половина њене висине. Ви сте познати да мерења изводите врло тачно, па онда треба само дужину штапа упоредити са дужином сенке; да би добили висину пирамиде – треба помножити дужину сенке пирамиде са добијеним бројем“.

ПИТАГОРА ИЗ САМОСА

Standard

Питагора (582-493. год. п.н.е.)

Питагора (582-493. год. п.н.е.)

 Питагора математичар

Питагора из Самоса често се приказује као први „прави“ математичар. Он је врло важна особа која је допринела развоју математике, иако у основи знамо мало о његовом математичком раду.

Питагора богати учитељ

Питагора је рођен на грчком острву Самос (данас то острво припада Турској), као син богатог трговца с којим је много путовао. На Самосу оснива школу, под називом „Полукруг“, која је и вековима касније мештанима острва служила као окупљалиште мислилаца.

Строги Питагора

Установио је математичку школу у којој су ученици поштовали строга правила дружбе. Школу данас називамо Питагорејском школом, а његове следбенике Питагорејцима. Оно што је сигурно је да је његова школа дала велики допринос математици.

Питагора воли бројеве

Питагорејце су занимале основе математике, појам броја, троугла и осталих математичких фигура, као и апстрактна идеја доказа. Питагора је веровао да се све релације и односи могу свести на операције бројевима, да се све око нас и цели свемир може објаснити бројевима. До тог закључка Питагорејци су дошли након многих опажања у музици, математици и астрономији. Питагора је проучавао својства природних бројева која су и дан данас позната, као на пример парни и непарни бројеви, савршени бројеви … По њиховом мишљењу, сваки број има чак и своје особине: број је мушки или женски, савршен или непотпун, леп или ружан. Постојао је и најбољи од свих бројева: број 10, којег су препознали као збир прва четири природна броја (1 + 2 + 3 + 4 = 10)

Питагора музичар

Познато је Питагорино опажање да жице музичких инструмената производе тонове у хармонији када су коефицијенти дужина тих жица цели бројеви. Питагора је јако допринео стварању математичке теорије музике. Био је изванредан музичар, свирао је лиру и користио је музику као средство лечења болесника (музикотерапија).

Питагорина теорема

Наравно, ми данас памтимо Питагору по познатој Питагориној теореми. Иако је та теорема названа по Питагори, она је била позната још и старим Вавилонцима 1000 година пре него што се Питагора родио.

Ево познатијих тврђења које су доказали Питагора и Питагорејци:

Збир углова у троуглу једнак је као два права угла.

Квадрат над хипотенузом једнак је збиру квадрата над катетама (Питагорина теорема).

2013-04-08_1712

2013-04-08_1707

Доказ Питагорине теореме

Доказ Питагорине теореме

Доказ Питагорине теореме

Доказ Питагорине теореме

Приметимо овде да Питагорејцима „квадрат“ није означавао множење дужине странице  самом собом, већ је означавао једноставно геометријску фигуру – квадрат конструисан на страници. Чињеница да је збир два квадрата једнак трећем, значила је да се два квадрата могу изрезати на фигуре од којих се може сложити један квадрат који је подударан квадрату над хипотенузом.

Откриће ирационалних бројева.

Питагорејци су чврсто веровали да се све може приказати у облику броја, при чему је сваки број коефицијент два цела броја. Међутим, када су покушали измерити хипотенузу једнакокраког правоуглог троугла, дошли су до закључка да се она не може приказати као коефицијент два цела броја и то их је ужаснуло. Заправо, чињеница да постоје бројеви који се не могу приказати као однос два природна броја толико их је ужаснула да су ту тврдњу чували у дубокој тајности како не би изашла на видело.

Пет правилних геометријских тела (Платонова тела).

Сматра се да је сам Питагора знао како конструисати прва три правилна тела, али не и последна два.

Питагора астроном

У астрономији је Питагора поучавао да је Земља кугла у средишту Свемира. Он је такође препознао да се Месечева путања налази под углом у односу на Екватор. Он је такође био један од првих који је приметио да је Венера као вечерња звезда била исто небеско тело као Венера као јутарња звезда.

Несебични Питагора

Што се моралног живота Питагорејаца тиче, и ту су имали своја правила. Питагора је, наиме, неговао пријатељство, несебичност и искреност.

Питагорина школа

И након Питагорине смрти Питагорејска школа је још дуго била на окупу. Након 500. год. п.н.е. школа се све мање бавила науком, а све више политиком и зато се ускоро расцепкала на групице. Године 460. п.н.е. школа је напрасно затворена, а за Питагорејцима је остао до данас богат плод њиховог изучавања астрономије, аритметике и геометрије.